Une SO(3)-connexion sur une variété de dimension 4 est dite définie si sa courbure est non-nulle sur tout 2-plan tangent. Etant donnée une telle
connexion, le fibré en 2-sphère correspondant est muni d'une structure symplectique. Une connexion définie a un signe : positif pour une variété de Fano et
négatif pour une variété de Calabi-Yau. L'étude des connexions définies mène à la construction d'exemples, notamment en utilisant la géométrie
hyperbolique, ainsi qu'à des tentatives pour mieux comprendre les variétés de dimension 4 qui portent une connexion définie. Il y a un flot géométrique
qui essaye de déformer une connexion définie donnée vers une qui satisfait une certaine EDP. La compréhension de la formation de singularités dans ce
flot est un étape importante pour comprendre quelle sont les variétés qui portent une connexion définie.