Le fibré des repères X sur une 3-variété hyperbolique M est, de manière naturelle, une variété complexe avec fibré canonique trivial. Celà nous
permet de donner une description holomorphe des fibrés vectoriels plats sur M. Dans un premier lieu, on peut voir qu'un SL(2,C)-fibré plat au-dessus de M
définit une structure complexe alternative sur X. Ou bien on peut fixer la structure complexe et le pullback de M d'un fibré vectoriel plat est, de
manière naturelle, un fibré vectoriel holomorphe sur X. Cette procédure donne un plongement de la théorie de Chern-Simons de M dans la théorie de
Chern-Simons holomorphe de X. On peut espérer que les techniques de l'une résolvent des problèmes de l'autre. Par exemple, étant donné un fibré plat au-dessus
de M muni d'une métrique hermitienne, la métrique tirée-en-arrière sur le fibré holomorphe est hermitienne-Einstein si et seulement si la métrique
originale est harmonique. De là nous voulons voir si la théorie des applications harmoniques peut  nous éclairer sur la comprehension du comportement des
connexions hermitiennes-Einstein sur X.